Подробности

    ЦифроМахЛогикаПриложения → Логика и математика

    Логика и математика

    что такое математика

    1) Логика и математика. Уайтхед и Рассел попытались вывести всю математику из чистой логики, вследствие чего их и их сторонников стали называть "логицистами". Другая школа, интуиционистская, возглавляемая Л.Э.Я.Брауэром, отрицает возможность такой редукции. Она утверждает, что логика есть лишь метод, развившийся вместе с математикой, и что закон исключенного третьего не всегда действует в математике. Третья, формалистическая школа, главным представителем которой является Д.Гильберт (1862-1943), толкует основные термины математики как неопределенные символы и стремится лишь к созданию безупречных, непротиворечивых систем.

    2) Теория типов. В 1896 г. Бурали-Форти обнаружил противоречие в теории множеств Кантора. В июне 1901 г. Расселу удалось доказать, что дело здесь не в математике, а в логике, и что в частности логическая система Г.Фреге содержит противоречия. Сегодня известны многие такие противоречия, которые выводятся из посылок, кажущихся очевидными. Их называют "антиномиями" или "парадоксами". Самая знаменитая из них - расселовская антиномия классов: включают ли все классы самих себя в качестве элемента или не включают, как в том и другом случае обстоит дело с классом всех не включающих самих себя классов? Оказывается, любой ответ на этот вопрос ведет к противоречию. Чтобы разрешить эту антиномию, Рассел и Уайтхед построили свою теорию типов (theory of types), согласно которой объекты распределяются по различным типам (уровням). Так, например (в области классов), единичный объект относится к уровню 1, класс единичных объектов - к уровню 2, класс классов данного вида - к уровню 3 и вообще, если "х" есть элемент "а", тогда "а" должно относиться к более высокому уровню, чем "х". Позже выяснилось, что некоторые антиномии (например, древняя антиномия "Лжец") являются не логическими, а семантическими антиномиями, возникшими из смешения языка и метаязыка. Теория типов была в некоторых отношениях упрощена, но в конце концов она себя оправдала. Несмотря на многие попытки до сих пор не удалось построить без нее непротиворечивую систему математической логики.

    3) Многозначные логики. В 1920 г. Я.Лукасевич, а годом позже и независимо от него Е.Пост обнаружили, что наряду с "классической" математической логикой, признающей лишь два значения (истинность и ложность, символически 1 и 0), возможны и другие логики, в которых допускаются более чем два значения, и которые непротиворечивы и полны. В этих логиках, однако, отсутствуют некоторые важные положения классической логики, например, всегда отсутствует закон исключенного третьего. Такие системы были построены строго аксиоматически, чем было доказано, что они как формальные системы безупречны. Но допускают ли эти системы какую-либо интерпретацию, которая превратила бы их в логические системы, остается до сих пор спорным вопросом. В то время как некоторые математические логики надеются, что с их помощью можно будет решить различные проблемы вероятностной и модальной логики, другие, напротив, считают их вообще не логическими системами.

    Последние достижения математической логики, такие, как комбинаторная логика или так называемые естественные логики, нам придется оставить без рассмотрения. Логика в целом разрабатывается весьма усердно, так что все время появляются новые идеи и системы.



  • Логика это

    Разумеется, такие предложения могут быть опять формализованы, но в этом случае придется употреблять мета-металогические предложения, так что в конечном итоге никакая система не может быть полностью формализована во всех своих составных частях

     
  • Источник: http://society.polbu.ru