Подробности

    ЦифроМахЛогикаПриложения → Основные понятия. В математической логике

    Основные понятия. В математической логике

    математическая логика

    В математической логике различаются постоянные и переменные. Переменные представляют собой буквы, вместо которых можно подставить другие знаки - постоянные или сложносоставленные. Если в высказывании (предложении) постоянная заменяется переменной, возникает функция - схема для высказывания, которая не истинна и не ложна (например, "X есть человек" - это функция, не являющаяся ни истинной, ни ложной, а "Сократ есть человек" - истинное высказывание). Функции могут быть снова превращены в высказывания, если перед ними поставить квантор. Есть два вида кванторов: кванторы общности типа "для всех X верно, что..." [пишется: "(X)"] и кванторы существования - "имеется по крайней мере один X, для которого верно, что..." [пишется: "(Ex)"]. Символы обычно подразделяют на так называемые основные категории и функторные категории. Основные категории - это имена (существительные) и высказывания; функторы - это символы, определяющие другие символы, то есть это предикаты в самом широком смысле слова (например, "спит", "и", "или", "любит" и т.д.). То, что определяется функтором, называется его "аргументом" (так, "Фриц" есть аргумент функтора "спит" в высказывании "Фриц спит"). Функторы делятся на: 1) образующие высказывания, образующие имена и образующие функторы ("спит" - образующий высказывание функтор, так как "Фриц спит" - высказывание; а "хороший" - функтор, образующий имя, так как "хороший ребенок" - не высказывание, а имя); 2) функторы, определяющие имена, определяющие высказывания и определяющие функторы ("неверно, что..." - функтор, определяющий высказывание, например: "неверно, что идет дождь"; а "спит" - функтор, определяющий имя, например, в высказывании "Фриц спит"); 3) наконец, функторы подразделяются по числу аргументов, которые они определяют, т.е. подразделяются на одноместные, двухместные, трехместные и вообще л-местные функторы. В то время как в традиционной логике любые предикаты могут определять только один субъект, в логистике один предикат (функтор) может определять несколько субъектов (аргументов). Например, предложение "Фриц пьет пиво" интерпретируется в том смысле, что "пьет" - это двухместный функтор, а "Фриц" и "пиво" - его аргументы. Слово "дает" считается трехместным функтором: "Фриц дает трубку Иоганну".

    Согласно этим принципам математическая логика разделяется на три основных части: логика высказываний, или пропозициональная логика (называемая также "теорией дедукции"), в которой все функторы являются определяющими высказывание, логика предикатов и классов, имеющая дело с функторами, определяющими имя, и логика отношений, имеющая своим предметом специфические свойства многоместных функторов.

    В. Логика высказываний (пропозициональная логика). Логика высказываний имеет дело исключительно с высказываниями, образованными посредством так называемых функторов истинности. Эти функторы являются функторами, образующими высказывания, определяющими высказывания, большей частью одно - и двухместными функторами, особенность которых в том, что значение истинности (коротко называемое просто "значение", т.е. истина или ложь) образованного с их помощью высказывания зависит исключительно от значения истинности его аргументов, а не от его смысла. Так, например, отрицание есть функтор истинности, ибо значение отрицаемого истинного высказывания есть ложь, а значение отрицаемого ложного высказывания есть истина, о каком бы высказывании ни шла речь и что бы оно ни означало. Наиболее употребительные функторы таковы: отрицание ("неверно, что", изображаемое как "~" или как черта над символом "А"), логическая сумма ("либо одно из двух, либо оба", изображаемая как "V"), логическое произведение ("и", изображаемое как "." или "&"), импликация ("если..., то", в смысле "либо посылка ложна, либо следствие истинно"24, изображаемое как "?" или ">"), равенство ("если и только если", изображаемое как "?") и, наконец, функтор штриха Шеффера ("ни тот, ни другой", изображаемый как "|"). Последний функтор особенно важен, поскольку им одним можно определить все функторы истинности.

    С помощью этих функторов связываются переменные высказывания (т.е. переменные, вместо которых могут быть подставлены только высказывания). При этом используются скобки или, вместо них, точки. Так например, "pvq? qvp" следует читать: "если р или q, то q или р". Я.Лукасевич придумал способ записи, при котором можно обойтись без скобок и точек, записывая все функторы перед соответствующими аргументами. Существуют по меньшей мере два метода, дающие возможность простым способом проверить, является ли некоторое высказывание логическим законом или нет, а именно, матричный метод и метод нормальной формы. Кроме того, все предложения исчисления высказываний аксиоматически выводятся из немногих аксиом и даже из одной аксиомы Нико. Пропозициональная логика образует самую разработанную часть математической логики. Самими математическими логиками она рассматривается как самая простая и основная часть логики, служащая так сказать остовом для всего остального логического анализа и дедукции.



  • Что такое математика

    С другой стороны, надо считаться с тем фактом, что, имея дело с чрезвычайно абстрактными и сложными положениями математической логики, практически невозможно строить правильные рассуждения без формализации

     
  • Источник: http://society.polbu.ru