Подробности

    ЦифроМахСобытия Математика → Найден удобный математический язык для описания дуальностей в магнитных системах

    Найден удобный математический язык для описания дуальностей в магнитных системах

    закон о связи

    Бельгийский физик нашел адекватный математический язык для выяснения происхождения дуальности в решеточных моделях. Результаты работы могут в конце концов привести к лучшему пониманию магнитных материалов.

    Если попытаться применить самые простые законы физики к одному, двум, трем атомам, то моментально возникает проблема: с увеличением числа атомов невообразимо быстро растет трудность решения уравнений. Именно поэтому нет никаких шансов на основании такого «подхода в лоб» получить хоть какой-то результат, относящийся к макроскопическому миру с огромным числом атомов.

    Но тут-то и начинается настоящая теоретическая физика. Она помогает увидеть наиболее общие, наиболее существенные для данного явления величины, найти в арсенале математики инструменты, наиболее адекватные для этой ситуации, и применить их. Многие достижения теоретической физики как раз и являются результатами изучения таких самых общих ситуаций, очищенных от шелухи конкретики, но содержащих ядро изучаемого физического явления.

    Когда речь идет о физике конденсированных сред, о физике поверхностей, о физике магнитных явлений, то в роли настоящих тестовых полигонов выступают разнообразные решеточные модели (модель Изинга, модель Поттса и т. д.). Такие модели представляют собой не что иное, как правильную решетку, в узлах которой находятся «магнитики», взаимодействующие с соседями по определенному закону. Если этот закон простой, то иногда удается найти состояние всей макроскопической решетки в целом, и тогда-то обнаруживаются самые удивительные явления. Изучив эти явления на упрощенных моделях, можно потом успешно предсказывать свойства реальным материалов.

    Например, еще полвека назад стало известно, что в решеточных моделях реализуется одно из самых красивых явлений в теоретической физике — дуальность Крамерса—Ванье (см. рассказ о том, что такое дуальность). Было обнаружено, что в некоторых случаях дуальность появляется, а в некоторых — пропадает. Когда она есть, когда ее нет и с какими именно свойствами решетки она «дружит», долгое время было непонятно.

    В своей недавней статье Ph. Ruelle, Phys. Rev. Lett. 95, 225701 (21 November 2005), доступной также как cond-mat/0504758, бельгийский физик Филипп Руэль, похоже, нашел компактный и не менее красивый критерий возникновения этого явления. Оказывается, если решеточную модель «свернуть в трубочку», то в ней могут существовать два типа коллективных колебаний: те, которые «гуляют» по всему цилиндру, и те, которые «живут» на торцах цилиндра и почти не проникают вглубь. (Это отдаленно напоминает два типа волн в море: волны на поверхности воды и звуковые волны в ее толще.) Изучив то, как эти краевые состояния преображаются при действии на них преобразования дуальности, автор нашел искомую связь. Более того, он буквально перечислил те решеточные модели, в которых дуальность реализуется.

    Интересно, что не так давно условие присутствия дуальностей в той или иной модели было сформулировано на совершенно другом языке, использующем гораздо более продвинутую математику (Phys. Rev. Lett. 93, 070601 (2004)). Автор настоящей работы замечает, что результаты двух подходов вроде как совпадают, но ему не вполне понятна непосредственная связь между двумя математическими языками. Значит, в этом направлении сказано далеко не последнее слово.

    Со стороны может показаться, что всё это лишь пустые математические забавы. Стоит, однако, помнить, что именно из таких забав потом вырастают новые методы и направления в теоретической физике. Именно они приводят к точному решению задач, над которыми, используя эмпирический метод проб и ошибок, можно вечно биться впустую. И именно они приводят к глубокому понимаю законов природы, по которым живут все окружающие нас материалы и предметы.



  • Математики рассчитали, как правильно садиться в самолет

    Да, пассажир, остановившийся у одного из средних рядов, немного задержит продвижение остальных, но в это время другая часть пассажиров уже прошла дальше по салону и может занимать места, что экономит общее время посадки

     
  • Источник: http://elementy.ru